我向老板提议离开，现在半个月的工资没有支付，没有签订劳动合同

针对您老板拒绝支付半个月工资的情况，根据《劳动争议调解仲裁法》的相关规定，您申请劳动仲裁时需准备以下材料：劳动仲裁申请书、身份证明、与用人单位存在劳动关系的证明材料（如工作证、同事证言等，尽管未签订劳动合同，但可寻找间接证据）、以及老板拖欠工资的证据（如工资条、银行流水、聊天记录等）。若用人单位有明确的财务规定日期，还需准备相关证明，以证明您已按规领取工资但未获全额。准备好这些材料后，即可向劳动争议仲裁委员会提出申请。
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针对老板在您离职后提出签订劳动合同并补发工资的情况，您可以：1.若接受合同，需确保合同内容合法、条款明确，特别是关于工资、工作时间、福利待遇等；2.要求老板立即补发之前拖欠的工资，并明确补发时间和方式；3.签订合同时，可要求增加条款确认之前工作的劳动关系及权益。务必在确认所有权益得到保障后，再考虑是否接受合同。
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从法律角度，您可以直接起诉老板要求支付拖欠的工资，但在此之前，建议先尝试劳动仲裁途径。根据《劳动法》及《劳动争议调解仲裁法》，劳动仲裁是劳动争议的前置程序，即未经劳动仲裁，法院一般不予受理。若劳动仲裁委员会未能在规定时间内作出裁决，或对裁决结果不服，您方可向人民法院提起诉讼。因此，建议优先通过劳动仲裁解决争议。